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高考数学复习:集合与映射专题复习指导
 
作者:佚名 来源:不详 点击数: 时间:2008-11-14 17:07:19【字体:
 
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  一、集合与简易逻辑

  复习导引:这部分高考题一般以选择题与填空题出现。多数题并不是以集合内容为载体,只是用了集合的表示方法和简单的交、并、补运算。这部分题其内容的载体涉及到函数、三角函数、不等式、排列组合等知识。复习这一部分特别请读者注意第1题,阐述了如何审题,第3、5题的思考方法。简易逻辑部分应把目光集中到“充要条件”上。

  1.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含两个元素的子集,且满足:对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1,2,3,…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示两个数x、y中的较小者)。则k的最大值是( )

  A.10 B. 11

  C. 12 D. 13

  分析:审题是解题的源头,数学审题训练是对数学语言不断加深理解的过程。以本题为例min{-,-}≠{-,-}如何解决?我们不妨把抽象问题具体化!

  如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}为-,min{-,-}为-,Si是Sj符合题目要求的两个集合。若Sj={2,4}则与Si={2,4}按题目要求应是同一个集合。

  题意弄清楚了,便有{1,2},{2,4},{1,3},{2,6},{1,2},{3,6},{2,3},{4,6}按题目要求是4个集合。M是6个元素构成的集合,含有2个元素组成的集合是C62=15个,去掉4个,满足条件的集合有11个,故选B。

  注:把抽象问题具体化是理解数学语言,准确抓住题意的捷径。

  2.设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是( )

  (A)CIS1∩(S2∪S3)=

  (B)S1(CIS2∩CIS3)

  (C)CIS1∩CIS2∩CIS3=

  (D)S1(CIS2∪CIS3)

  分析:这个问题涉及到集合的“交”、“并”、“补”运算。我们在复习集合部分时,应让同学掌握如下的定律:

  摩根公式

  CIA∩CIB=CI(A∪B)

  CIA∪CIB=CI(A∩B)

  这样,选项C中:

  CIS1∩CIS2∩CIS3

  =CI(S1∪S2∪S3)

  由已知

  S1∪S2∪S3=I

  即CI(S1∪S2∪S3)=CI=

  而上面的定律并不是复习中硬加上的,这个定律是教材练习一道习题的引申。所以,高考复习源于教材,高于教材。

  这道题的解决,也可用特殊值法,如可设S1={1,2},S2={1,3},S3={1,4}问题也不难解决。

  3.是正实数,设S={|f(x)=cos[(x+])是奇函数},若对每个实数a,S∩(a,a+1)的元素不超过2个,且有a使S∩(a,a+1)含2个元素,则的取值范围是 。

  解:由f(x)=cos[(x+)]是奇函数,可得cosx·cos=0,cosx不恒为0,

  ∴cos=0,=k+-,k∈Z

  又>0,∴=-(k+-)

  (a,a+1)的区间长度为1,在此区间内有且仅有两个角, 两个角之差为:-(k1+k2)

  不妨设k≥0,k∈Z:

  两个相邻角之差为-<1,>。

  若在区间(a,a+1)内仅有二角,那么-≥1,≤2,∴<≤2。

  注:这是集合与三角函数综合题。

  4.设集合A={(x,y)|y≥-|x-2|},B={(x,y)|y≤-|x|+b},A∩B≠,

  (1)b的取值范围是 ;

  (2)若(x,y)∈A∩B且x+2y的最大值为9,则b的值是 。

  解:用图形分别表示集合A、B。

  -

  -

  -

  B:y≤-|x|+b

  从观察图形,易知

  b≥1,A∩B≠;

  (2)直线l方程为x+2y-2=0

  直线x+2y=9平行于l,

  其截距为-

  ∴b=-

  5.集合A={x|-<0},B={x ||x -b|<a},若“a=1”是“A∩B≠”的充分条件, 则b的取值范围是(  )

  A.-2≤b<0 B.0

  C.-3

  分析A={x|-1

  A、B区间长度均为2。

  我们从反面考虑,若A∩B≠

  此时,b+1≤-1或b-1≥1

  即b≤-2或b≥2。

  b≤-2或b≥2为b不能取值的范围,所以应排除A、B、C,选D。

  注:本题是以集合为基础的充要条件,其难点并不是充要条件,而是对参数b的处理。本题的解法意在从A∩B≠出发,类似于不等量关系,考虑等量关系使问题简化,再用排除法。

  6.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有

  (A)1个 (B)4个

  (C)8个 (D)10个

  解:根据对应关系定义,从象的个数出发去思考。

  (1)函数集合有一个象,如象为1,

  这时f(x)=1,x=1,2,3

  f[f(x)]=f(1)=1=f(x)

  写成对应形式{1,2,3}f {1}

  若f(x)=2,x=1,2,3有{1,2,3}f {2}

  同理{1,2,3}f {3}

  以上共有3个函数。

  (2)函数集合有2个元素

  如函数集合为{1,2}

  有{1,3}f {1},{2}f {2}

  这时f(1)=1,f[f(1)]=f(1)

  f(3)=1,f[f(3)]=f(1)=f(3)

  f(2)=1,f[f(2)]=f(2)

  有两个函数。

  同理 函数集合为{1,3},{2,3}各有2个函数

  综上有6个函数

  (3)函数集合有三个元素{1,2,3}

  只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3

  ∴有一个函数,f(x)=x

  ∴综上(1)、(2)、(3)共有10个函数,故选D。

 

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