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高考复习:数学考试的学科特点是解法多样
 
作者:佚名 来源:不详 点击数: 时间:2008-11-14 17:07:23【字体:
 
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  数学考试的第四个学科特点是解法多样。教育部考试中心在解读全国高考数学考试大纲的说明中指出“一般数学试题的结果虽确定唯一,但解法却多种多样,有利于考生发挥各自的特点,灵活解答,真正显现其水平。”

  在各套试卷的各题型中,都有不少试题能够一题多解。

  【例1】(2007年天津卷,理10) 设两个向量-=(+2,2-cos2)和-=(m,-+sin),其中,m,为实数。若-=2-,则-的取值范围是( )。

  (A)[-6,1] (B)[4,8]   

  (C)[-∞,1] (D)[-1,6]

  【解】本题给出两个共线向量和三个参数,m,,需要确定-的取值范围,这种题目也不太常见,因为是选择题,我们可以从不同的角度用不同的方法来解决。

  解法1:可以根据选项提供的数据,用逆向化策略和特殊化策略,通过选取特殊值进行排除。 -

  设-=4,则4m+2=2m,m=-1, =-4。由第二个等式得16-cos2=-1+2sin,即17=cos2+2sin这是不可能的,因而排除(B),(D)。

  再设-=-8,则-8m+2=2m,m=-,=--,由第二个等式--cos2=-+2sin,即-=cos2+2sin=-(sin-1)2+2≤2

  这同样是不可能的。因而排除(C)。故选A。

  解法2:如果-是一个整体,则可以对和m分别求出取值范围,再进行整合。 由解法1,有

  -

  消去得4m2-9m+4=cos2+2sin,

  由于-2≤cos2+2sin=

  -(sin-1)2+2≤2,

  则有-2≤4m2-9m+4≤2,解得-≤m≤2(m≠0)。

  由=2m-2得--≤≤2,进而可求得-6≤-≤1,故选A。

  以上两个解法运用了特殊与一般的数学思想(解法1), 函数与方程思想和分解与组合的思维方法(解法2)。

  【例2】(2007年全国Ⅰ卷,理22)已知数列{an}中a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,…

  (Ⅰ)求{an}的通项公式;

  (Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn+1=-,n=1,2,3…,

  证明:-

  【解】(Ⅰ)an的通项公式为an=-[(--1)n+1],n=1,2,3…。

  解:用数学归纳法证明。

  (ⅰ)当n=1时,因-<2,b1=a1=2,所以-

  (ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即-

  当n=k+1时,

  bk+1--=---

  =-

  =->0

  又 -<-=3-2-

  所以bk-1--

  =-

  <(3-2-)2(bk--)

  ≤(--1)4(a4k-3--)

  =a4k+1--。

  也就是说,当n=k+1时,结论成立。

  根据(ⅰ)和(ⅱ)知-

  【例3】(2007年辽宁卷,理22)已知函数f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,g(x)=-f'(x)。

  (I)证明:当t<2-时,g(x)在R上是增函数;

  (II)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,t>k 时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;

  (III)证明:f(x)≥-。

  【解】(I)f'(x)=2e2x-2t(ex+1)+2x,

  g(x)=-f'(x)=e2x-t(ex+1)+x,

  g'(x)=2e2x-tex+1=2(ex--)2+1--,

  因为t<2-,则1-->0,所以,g'(x)>0,

  所以,当t<2-时,g(x)在R上是增函数。

  (II)本题等价于存在实数k,当t>k时,在闭区间[a,b]上g'(x)<0;

  由g'(x)=2e2x-tex+1<0,t>2ex+e-x令h(x)=2ex+e-x,

  由于h(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,所以,h(x) 一定有最大值,设该最大值为k,则必有t>k,

  于是,当t>k=(2ex+e-x)max时,有g'(x)<0 ,即g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;

  (III)证明:把f(x)看作t的函数,

  设F(t)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1,则F(t)=2(t--)2+-(ex-x)2+1≥-(ex-x)2+1。

  设H(x)=ex-x则H'(x)=ex-1

  所以,H(x)的最小值为1,从而H(x)=ex-x≥1于是,F(t)=-(ex-x)2+1≥-,即f(x)≥-。

  【例4】(2007年重庆卷,理,文)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N。

  (Ⅰ)求{an}的通项公式;

  (Ⅱ)设数列{bn}满足an(--1)=1并记Tn为{bn}的前n项和,求证:

  3Tn+1>log2(an+3),n∈N。

  【解】(I)由a1=S1=-(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,

  由假设a1=S1>1,因此a1=2,

  又由an+1=Sn+1-Sn=-(an+1+1)(an+1+2)--(an+1)(an+2),

  得(an+1+an)(an+1-an-3)=0,

  即an+1-an-3=0或an+1=-an,因an>0,故an+1=-an不成立,舍去。

  因此an+1-an=3,从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,

  故{an}的通项为an=3n-1。

  (II)证明:用比较法。由an(--1)=1可解得

  bn=log2(1+-)=log2-;

  从而Tn=b1+b2+……+bn=log2(-·■……-)。

  因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(-·■……-)3·■。

  令f(n)=(-·■……-)3·■,

  则-=-·(-)3=-。

  因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0,故f(n+1)>f(n)。

  特别地f(n)≥f(1)=->1,从而3Tn+1-log2(an+3)=log2f(n)>0 。

  即3Tn+1>log2(an+3)。

  以上,向大家介绍了数学高考的四个数学特点,数学试卷体现数学特点是顺理成章的事情,这就启发我们在高考复习时要注意数学特点所涉及的几个方面。

 

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