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高三各科复习:函数典题精讲精练
 
作者:佚名 来源:不详 点击数: 时间:2008-11-14 17:07:41【字体:
 
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  知识要点

  一、函数的概念

  1.函数的定义:设A、B是非空数集,如果按某个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量。x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

  2.两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。

  3.映射的定义一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A、B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。

  由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集。

  二、函数的解析式

  求解析式的常用方法:换元法,配凑法,构造方程法,待定系数法。

  三、函数的定义域

  1.具体函数的定义域:使函数有意义的自变量的取值集合。

  2.抽象函数的定义域(复合函数f[g(x)]):内层函数的值域必须符合外层函数的定义域。

  典型例题

  例1、判断下列对应是否是映射

  (1)A=R,B=R,f:x→y=-

  (2)A={s|s=2m+1,m∈N},B={t|t∈R},f:s→t=s

  解:(1)不是

  ∵x=0集合B中没有象与之对应。

  (2)是。

  说明:体会映射的概念 “都有象,象唯一”。

  例2、已知M={a,b,c},N{1,2}

  求:(1)M到N的映射个数,N到M的映射个数。

  (2)满足M到N的函数有多少个。

  解:(1)8个,9个

  (2) C32·A22=6个

  说明:注意分辨函数与映射的差别,映射的象集合可以存在元素没有原象,函数的集合N表示函数的值域,每一个元素都要有原象。

  例3、求下列函数的定义域:

  (1)y=-

  解:-

  x∈{x|-6≤x<-1或-1

  说明:求解函数的定义域先由外向内列出条件不等式组再求解。

  (2)y=1+-

  解:-

  x∈{x∈R|x≠-2且x≠-1}

  说明:在求解函数的定义域时,不能先化简再求解。

  例4、(1)已知:函数f(x)的定义域为[0,1]求:f(x2),f(x-1)的定义域。

  解:0≤x2≤1 ∴x∈[-1,1];

  - x∈(0,1]

  说明:形如f[g(x)]已知f(x)的定义域A求复合函数的定义域。

  令g(x)∈A解不等式。

  (2)已知: f[lg(x+1)]的定义域为[0,9]求f(x)的定义域。

  解:0≤x≤9,1≤x+1≤10,0≤lg(x+1)≤1,

  ∴f(x)的定义域为[0,1]

  说明:形如f[g(x)]已知f[g(x)]的定义域A求函数f(x)的定义域。求解g(x)在x∈A的值域。

  例5、已知:f(1-cosx)=sin2x,求f(x)

  x∈R t=1-cosx,t∈[0,2] cosx=1-t

  解法一:

  设sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2

  ∴f(t)=-t2+2t

  f(x)=-x2+2x x∈[0,2]

  解法二:

  f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x

  =1-[(1-cosx)2-2(1-cosx)+1]

  =-(1-cosx)2+2(1-cosx)

  ∴f(x)=-x2+2x x∈[0,2]

  说明:在使用换元法,配凑法求解析式时,要注意中间变量的定义域。

 

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