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高考数学基本不等式的应用与常见错误评析
 
作者:佚名 来源:不详 点击数: 时间:2008-11-14 17:07:43【字体:
 
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  基本不等式及应用是高中阶段一个重要的知识点;其方法灵活,应用广范。在学习过程中要求学生对公式的条件、形式、结论等要熟练掌握,才能灵活运用。

  一、基本不等式:

  1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b等号成立,

  2.a,b∈R+,a+b≥2-,当且仅当a=b等号成立。

  二、问题1:设ab﹤0,则:-+-的取值范围是( )

  (A)(-∞ -2 ] (B)(-∞ 2] (C)[-2 +∞) (D)[2 +∞)

  解题辨析:

  常见错误解法:因为-与-的积为定值,其和有最小值,

  即-+-≥2所以选择答案(D)。此解法是错的,是因为-﹤0

  -﹤0并不满足不等式:a+b≥2-中字母的条件;

  正确方法是:因ab﹤0,所以(--)>0,(--)>0

  (--)+(--)≥2,即-+-≤-2,正确答案是(A)

  问题2:已知x是正实数,求函数y=x2+-的最小值?

  解题辨析:

  常见错误解法:因x是正实数,y=x2+-≥2-,所以y=x2+-的最小值是2-,当且仅当x2=-,即x=-时,等号成立;此解法错误的原因是x2与-的积

  2-并不是定值。

  正确结论:对于两个正数a与b,

  当和为定值,当且仅当a=b时,其积有最大值;

  当积为定值,当且仅当a=b时,其和有最小值。

  正确方法是:因x是正实数,y=x2+-=x2+-+-

  ≥3·■=3,

  当且仅当:x2=-等号成立,即x=1时,y=x2+-的最小值是3

  问题3:已知x,y都是正实数,且x+4y=1,求:-+-的最小值?

  解题辨析:

  常见错误解法:因为x,y都是正实数1=x+4y≥2-

  即1≥4->0,-+-≥

  2->0,两式相乘得-+-≥8

  所以-+-的最小值是8,此解法错误的原因是不等式x+4y≥2-取等号的条件是x=4y,而不等式-+-≥2-取等号的条件是x=y,而这两个条件不可能同时成立,因此-+-≥8中的等号不成立。

  正确方法是:x,y都是正实数,且x+4y=1,所以-+-=(-+-)·(x+4y)=1+4+(-+-)≥5+

  2-=9,当且仅当-=-等号成立,

  即当且仅当x=-,y=-时,-+-取得最小值是9

  问题4:已知x,y,m,n∈R,且x2+y2=2,m2+n2=4,求:xm+yn的最大值?

  解题辨析:

  常见错误解法:

  xm+yn≤(x2+m2)/2+(y2+n2)/2=(x2+y2+m2+n2)/2=3

  即:xm+yn的最大值为3

  此解法错误的原因是当xm+yn取得最大值3时,x=m,y=n要同时成立,即有x2+y2=m2+n2,而这是不可能的。

  正确解法:因为x2+y2=2,m2+n2=4,两式相乘

  8=x2m2+n2y2+x2n2+y2m2≥x2m2+n2y2+2xymn

  8≥(xm+ny)2∴|xm+ny|≤2-

  即当且仅当xn=ym时,xm+yn取最大值为2-

  总之,基本不等式解决问题并不是万能的。学习过程中,要深刻理解基本不等式的内在实质,搞清其条件、公式、结论之间的辩证关系是关键。特别对于第二个基本不等式,我们常说“一正、二定、三等号”,其意义就在于此。

  训练题

  一、填空题:

  1.已知x,y都是正实数,且-+-=1,则x+y最小值是_______,

  当且仅当x=_______,y=_______,

  2.已知:abc均为实数,且a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的最大值是________

  最小值是_________。

  3.已知:a,b都是正实数,且a+b=1,则(a+-)2+(b+-)2的最小值是__________。

  二、选择题:

  1.已知:a,b都是正实数,且a+b=1,则-+-的最大值是( )

  (A)-(B)-(C)2-(D)3

  2.已知实数a,b,c满足:a+b+c=5且a2+b2+c2=11,则实数c的范围是( )

  (A)R(B)[- 2](C)(- 3)(D)[- 3]

  三、解答题:

  1.已知矩形的面积与其周长相等,求其面积的最小值?

  2.⑴比较大小:㏒23_____㏒34,㏒56______㏒67

  ⑵根据上述结论作出推广,试写出一个有关于自然数n的不等式,并证明之。

  答案:

  一、 填空题:

  1. x+y最小值是9, 当且仅当 x=6,y=3。

  2. ab+bc+ca的最大值是1 , 最小值是--。

  3.(a+-)2+(b+-)2的最小值是- ,  二、 选择题:

  1.(C), 2.(D)

  三、 解答题:

  1.16

  2.⑴ ㏒23>㏒34 , ㏒56>㏒67

  ⑵ ㏒n(n+1)>㏒(n+1)(n+2), 只要证明: ㏒(n+1)n·㏒(n+1)(n+2)﹤1即可。

 

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