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【数学】解决排列组合问题常见策略
 
作者:佚名 来源:不详 点击数: 时间:2008-11-14 17:07:46【字体:
 
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排列、组合问题是高中数学的重要知识之一,由于解这类问题时方法灵活,切入点多,且抽象性强,在做题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现,所以成为学习的难点之一。如果在解决排列、组合问题时,注意常见的解题策略,则会降低学习这部分知识的难度。

1. 合理选择主元

例1. 公共汽车上有3个座位,现在上来5名乘客,每人坐1个座位,有几种不同的坐法?

例2. 公共汽车上有5个座位,现在上来3名乘客,每人坐1个座位,有几种不同的坐法?

分析:例1中将5名乘客看作5个元素,3个空位看作3个位置,则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上,共有 种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂,将5个空位看作元素,而将乘客看作位置,则例2变成了例1,所以在解决排列组合问题时,合理选择主元,就是选择合适解题方法的突破口。

 

2. 相邻问题捆绑法

若元素(或位置)相邻,则将它们“捆绑”在一起,看作一个元素进行计算,然后再交换相邻元素(或位置)内部顺序算出总数。

例3. 5名女生3名男生站成一排照相,其中3名男生站在一起,共有多少种不同的站法?

解:先把3名男生“捆绑”在一起当作一个元素,连同其余5名女生共6个元素,进行排列,再交换3名男生的位置,故站法共有:

(种)

 

3. 不相邻用插空法

对于一些元素(或位置)不相邻的排列、组合问题,应先将其他元素(或位置)排好,再把不相邻的元素(或位置)在已排好的元素(或位置)间插空。

例4. 5名女生3名男生站成一排照相,其中3名男生互不相邻共有多少种站法?

解:先将5名女生排好,将3名男生插在5名女生之间的6个空位中,则站法有:

(种)

 

4. “至少”型组合问题用隔板法

对于“至少”型组合问题,先转化为“至少一个”型组合问题,再用n个隔板插在元素的空隙(不包括首尾)中,将元素分成n+1份。

例5. 4名学生分6本相同的书,每人至少1本,有多少种不同分法?

解:将6本书分成4份,先把书排成一排,插入3个隔板,6本书中间有5个空隙,则分法有:

(种)

 

5. 注意合理分类

元素(或位置)的“地位”不相同时,不可直接用排列组合数公式,则要根据元素(或位置)的特殊性进行合理分类,求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。

例6. 求用0,1,2,3,4,5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。

解:比2015大的四位数可分成以下三类:

第一类:3×××,4×××,5×××,共有: (个);

第二类:21××,23××,24××,25××,共有: (个);

第三类:203×,204×,205×,共有: (个)

∴比2015大的四位数共有237个。

 

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